*En espérant que vous donnerez une suite favorable à ma requête, veuillez croire à toute ma considération.

Dans cette phrase, c'est l'auteur de la lettre qui espère, non pas celui qui reçoit la requête. Pour éviter toute ambiguïté, il faut donc reformuler ainsi :

En espérant que vous donnerez une suite favorable à ma requête, je vous prie de croire à toute ma considération.

Le sujet de la proposition principale, je, doit être le même que celui qui fait l'action exprimée par le gérondif.

*Étant malade, j'ai dû conduire mon fils chez le médecin : il n'a donc pas pu venir à l'école ce matin.

C'est le fils qui est malade, mais le parent qui le conduit… La reformulation qui s'impose est la suivante :

Étant malade, mon fils n'a pas pu venir à l'école ce matin : je l'ai conduit chez le médecin.

Ou bien : Comme mon fils était malade, j'ai dû le conduire chez le médecin…

*Convaincu de son innocence, le prévenu fut acquitté par le jury.

Ce n'est pas le prévenu qui est convaincu, mais le jury. La phrase correcte est donc :

Convaincu de son innocence, le jury acquitta le prévenu.

*Radieuse, les invités virent la mariée s'avancer jusqu'à l'autel.

Ce ne sont pas les invités, mais la mariée qui est radieuse. Pour régler le problème, il suffit ici de modifier la place de l'adjectif :

Les invités virent la mariée, radieuse, s'avancer jusqu'à l'autel.

*Sans vouloir vous contredire, êtes-vous vraiment sûr de ce que vous avancez ?

Ce ne peut pas être le destinataire de la question qui se contredit lui-même. Voici une proposition de reformulation :

Sans vouloir vous contredire, permettez-moi de vous demander si vous êtes vraiment sûr de ce que vous avancez.